4.7 Calculo de Integrales de Funciones expresadas con serie de Taylor

La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x)(cociente de polinomios, para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el bachillerato.A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales comolog(x), sen(x), ex, ..., pero, aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos desarrollados por el análisis matemático.

Fórmula de Taylor

Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.
El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:
f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) nEl segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas.Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más rápidamente que (x-a)n. Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n.
Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad.Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo miembro un término más, llamado resto:f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)(c)(x-a)n+1El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x.La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia.
Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisión deseada.La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista práctico.La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teoría de la aproximación de funciones.

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.Teorema de Taylor.

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por: Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.Funcion e Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da. Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de como se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se irá llenando la serie mientras más elementos se le agreguen para que el resultado sea más preciso. Todo esto fue para ver como es la serie de la función e, ahora para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya está
Función CosenoPara el coseno el procedimiento es el mismo.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.
Despues se va llenando la serie de Taylor para despues hacer una ecuacion general: Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos

4.5 Serie de Taylor

Una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.Si a = 0, a la serie se le llama serie de McLaurin.Esta representación tiene tres ventajas importantes:La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Definición

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:que puede ser escrito de una manera más compacta comodonde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y y son ambos definidos como uno.Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma siempre se puede hacer el cambio de variable (con lo que en la función a desarrollar original) para expresarla como centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función alrededor de a = 1 se puede tomar , de manera que se desarrollaría centrada en 0.

4.4 Radio de convergencia.

Definición

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0} a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0.

Ejemplo:

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.
[editar] Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+....

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}.

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty.
[editar] Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene la forma:

\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-....

Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es r=\sqrt{2}/2. Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador. Por ejempo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.... y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.

4.3 Serie de potencias

Series de potencias.

En la representación (e incluso en la construcción) de funciones, desempeñan un papel especialmente
destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su
estudio corresponden a la teoría de funciones de variable compleja más que a la teoría de funciones
de variable real, por lo que aquí damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para
nuestros propósitos.Series de potencias. Convergencia de las series de potencias. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n.
El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término
n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n.
En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los
polinomios.
¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos.
Ejemplos. a) La serie geométrica ∞Σ n=0 xn converge (absolutamente) si y solo si x " (−1,1) (con suma 1 1−x , como sabemos).

b) La serie ∞Σ n=1 xn n converge si y solo si x " [−1,1). Si x " (−1,1), converge absolutamente.
c) La serie ∞Σ n= xn n2 converge (absolutamente) si y solo si x " [−1,1].
d) La serie ∞Σ n=1(−1)nx2nn converge si y solo si x " [−1,1]. Si x " (−1,1), converge absolutamente.
e) La serie∞Σn=0xnn!converge (absolutamente) para todo x " R (y la suma es ex).
f) La serie∞Σn=0n!xn converge solamente para x = 0. Si para algún r " (0,+∞) la sucesión (anrn) está acotada, entonces para cada x " R tal que |x−c| < r la serie ∞Σ n=0 an(x−c)n es absolutamente convergente.

4.2.- Serie numérica y convergencia prueba de la razón (criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy)

• Una serie numérica es una suma de infinitos terminos.

Si estos infinitos términos suman un numero real es convergente y si suman infinito es divergente (bueno tb es divergente si la serie oscila...)
Una cosa es estudiar la convergencia de una serie (si converge o diverge) y otra cosa es hallar el valor de dicha suma.
Una forma de hallar esta suma es hallando el limite de k cuando tiende a infinito de las sumas parciales de los k primeros terminos (una suma finita muchas veces es "facil" de calcular y el limite tambien). Si no existe este limite es cuando la serie oscila (y por tanto diverge)

• Para poder saber si es convergente o divergente muchas veces se utilizan criterios de comparación con otras series que sabes que convergen o divergen.

Por ejemplo la serie 1/n diverge pero la serie 1/n^2 converge..curioso no?
1+1/2+1/3+1/4+······+1/n+····= infinito
en cambio 1+1/4+1/9+1/16+····+1/n^2+···· = (pi^2)/6

• Criterio de D’Alembert:

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).
Si existe
Con, el Criterio de D'Alembert establece que:
* si L < 1, la serie converge.
* si L > 1, entonces la serie diverge.
* si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

• Criterio de Cauchy:

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo
Entonces, si:
* L < 1, la serie es convergente.
* L > 1 entonces la serie es divergente.
* L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión

4.1 Serie

4.1 Definición de serie

Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas.

Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.

4.1.1 Finita

Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como el último término.

4.1.2 Infinita

Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción.

Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2,

4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.

En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma de series infinitas lo cual a

s u vez puede ayudar en su cálculo.

Incluso puede lograr que el cálculo complejo s ea más fácil.

Por ejemplo, para el cálculo exponencial, este puede ser convertido en la forma:

Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de

la función, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.

Cuando la serie infinita es remplazada por la suma de los términos iniciales de la serie, un valor de error

aproximado puede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en la determinación de la razón de convergencia efectiva para la serie correspondiente.